[高等数学][多元微积分]-格林公式的证明与记忆方法

目录

1. 格林公式的证明
2. 公式记忆方法

正文

• 格林公式的证明

格林公式是一个数学公式，它描述了平面上沿闭曲线L对坐标的曲线积分与曲线L所围成闭区域D上的二重积分之间的密切关系。 一般用于二元函数的全微分求积。

相关概念

当xOy平面上的曲线起点与终点重合时，则称曲线为闭曲线。设平面的闭曲线L围成平面区域D，并规定当一个人沿闭曲线L环行时，区域D总是位于此人的左侧，称此人行走方向为曲线L关于区域D的正方向，反之为负方向。

定理

设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数P(x,y) 及 Q(x,y)在D 上具有一阶连续偏导数，则有

其中 L是D 的取正向的边界曲线。公式⑴叫做格林（green）公式。 [1]

证明：如图设4个曲线段 L1,L2,L3,L4, 都以逆时针方向为正方向。L=L1+L2=L3+L4

同理

因此

得证 □

• 公式记忆方法

要记住公式最好要会推导，自己推导过的公式印象比较深。其次要找公式的实用含义或几何图形帮助记忆。再次找公式里面字母的规律。在格林公式中，等号右边是 Pdx+Qdy 的线积分。字母顺序P在Q之前、x在y之前，因此自然的把字母顺序在前的都写在前面。等号左边是 ∂Q/∂x-∂P/∂y 的二重积分。注意不要错误写成 ∂Q/∂y-∂P/∂x. 因为根据证明过程中计算二重积分先积分一次消去偏导数，微商的分母项是会消掉的，没有消掉的那个微元和函数相乘等于右边。即 ∂Q/∂x*dxdy → Qdy . 另外根据证明过程，∂P/∂y前面必须有负号。这样记忆格林公式终生难忘。